확률과 통계 · Ⅰ. 경우의 수

1강
여러 가지 순열

원순열 · 중복순열 · 같은 것이 있는 순열

교과서 Ⅰ-1 순열과 조합 (10~17쪽)

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오늘의 질문

오늘은 이 세 가지 질문에 답합니다

① 원탁에 둘러앉는
방법은 몇 가지?

② 여행 가방 자물쇠의
비밀번호는 몇 개?

③ BANANA의 글자를 섞으면
몇 가지가 나올까?

학습목표 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다.

준비하기 · 복습

순열은 ‘한 줄로 세우기’였습니다

서로 다른 깃발 5개를 일렬로 나열하는 방법은?

5

4

3

2

1

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120

서로 다른 n개에서 r개를 택해 일렬로:
nPr = n!(n−r)!

그런데 한 줄이 아니라
동그랗게 앉는다면?

원순열 · 비유

아서왕의 원탁: “상석이 없는 탁자”

영국 윈체스터 성에 걸린 ‘아서왕의 원탁’ (13세기 제작)

전설 속 아서왕은 기사들 사이에 높고 낮은 자리가 생기지 않도록 둥근 탁자를 만들었다고 합니다.

원탁에는 ‘첫 번째 자리’가 없다.
중요한 것은 누구 옆에 누가 앉았는가뿐.

그래서 회전해서 겹치는 배열은 같은 것으로 봅니다.
→ 이런 배열이 원순열

원순열 · 직접 돌려 보기

돌려도 같은 자리 배치

▲ 표시한 자리부터 시계 방향으로 읽으면

ABCD

DABC

CDAB

BCDA

한 줄로 읽으면 4가지지만 원탁 위에서는 모두 같은 배열입니다.

일렬 배열 4! = 24가지가 4개씩 같은 것으로 묶임
→ 4!4 = 3! = 6가지

원순열 · 다른 관점

요령: 한 사람을 기준으로 고정하기

회전목마는 아무리 돌아도 말들의 순서는 그대로입니다.

노란 말(A)을 기준으로 잡고 나머지가 그 뒤에 어떤 순서로 오는지만 보면 됩니다.

A를 맨 위에 고정하면, 나머지 B, C, D를 한 줄로 세우는 것과 같다 → 3! = 6

원순열 · 정리

원순열의 수

서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는

n!n = (n − 1)!

나누기 관점
일렬 배열 n!가지를 회전으로 겹치는 n개씩 묶는다

고정 관점
한 명을 고정하고 나머지 (n−1)명을 줄 세운다

n	일렬 n!	원형 (n−1)!
3	6	2
4	24	6
5	120	24
6	720	120

예제 1 · 교과서 12쪽

회장과 부회장이 이웃하게 앉는 경우

회장·부회장을 포함한 5명이 원탁에 둘러앉을 때

⑴ 5명이 앉는 경우: (5−1)! = 4! = 24

⑵ 비유: 끈으로 묶기
꼭 붙어 앉을 두 사람은 한 사람으로 본다 → 4명의 원순열

(4−1)! = 3! = 6

묶음 안에서 두 사람이 자리를 바꾸는 경우 2! = 2

6 × 2 = 12

함께 풀기 · 교과서 12쪽 문제 1, 2

풀어 봅시다

문제 1

할머니와 할아버지를 포함한 가족 6명이 원형 식탁에 둘러앉는다.

⑴ 6명이 앉는 경우의 수
⑵ 할머니와 할아버지가 마주 보고 앉는 경우의 수

⑴ (6−1)! = 5! = 120

⑵ 할머니를 고정하면 할아버지 자리는 맞은편 한 곳으로 정해짐.
나머지 4명이 남은 4자리에: 4! = 24

문제 2

정팔각형 구절판(가운데 1칸 + 둘레 8칸)에 서로 다른 간식 9가지를 담는 방법은?
(회전하여 일치하면 같은 것)

가운데 칸은 회전해도 그대로 → 가운데에 올 간식 고르기: 9가지

남은 8가지는 둘레에 원순열: (8−1)! = 7!
→ 9 × 7! = 45360

중복순열 · 비유

여행 가방 자물쇠: 같은 숫자를 다시 써도 된다

세 자리 비밀번호. 각 자리에 0~9 중 아무 숫자나.
예: 007, 112, 999 …

000

다이얼을 클릭하면 한 칸씩 돌아갑니다

10 × 10 × 10 = 103 = 1000

자리마다 똑같이 10가지. 앞에서 쓴 숫자가 줄어들지 않는다!

중복순열 · 정리

순열 vs 중복순열

순열 · 중복 ✕

5

×

4

×

3

5P3 = 60 (쓴 것은 빠진다)

중복순열 · 중복 ○

5

×

5

×

5

5Π3 = 53 = 125 (매번 다시 5개)

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 중복순열의 수

nΠr = n × n × ⋯ × n = nr

Π(파이)는 곱(Product)의 P에 해당하는 그리스 문자

순열은 n ≥ r이어야 하지만 중복순열은 n < r도 가능
예: 3Π4 = 34 = 81

중복순열 · 자주 하는 실수

밑과 지수, 헷갈리지 않으려면: 누가 고르는가?

학생 4명이 방과후 활동으로 농구·야구·축구 중 하나씩 고른다. (교과서 24쪽 08번)

지금까지 나온 서로 다른 결과: 0가지

학생마다 3가지 중 선택 → 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81
43 = 64가 아니다!

고르는 쪽의 수 → 지수 r
골라지는 쪽의 수 → 밑 n
(함수 f : X → Y의 개수 = |Y||X|)

예제 2 · 교과서 14쪽

0, 1, 2, 3으로 만드는 네 자리 자연수

중복을 허용할 때, 네 자리 자연수는 몇 개?

3

×

4

×

4

×

4

천의 자리에는 0이 올 수 없다 → 1, 2, 3의 3가지

나머지 세 자리는 0~3 아무거나 → 4Π3 = 64

3 × 64 = 192

해 보기: a, b, c, d, e, f 중 3개를 택하는 중복순열 중 자음으로 시작하는 것은? (답: 4 × 62 = 144)

같은 것이 있는 순열 · 비유

모스 부호: 점 2개와 선 2개로 만드는 신호

전신기의 모스 키. 짧게(•) 길게(—) 눌러 글자를 보냈다.

네 칸을 일렬로 나열하니 4! = 24일 것 같은데… 실제로는 6가지.

점끼리, 선끼리는 서로 구별이 안 된다.
→ 같은 것이 있으면 겹치는 만큼 나눠야 한다

같은 것이 있는 순열 · 원리

이름표를 붙였다가 떼어 보자

a 3개, b 2개를 일렬로 나열하는 방법은?

① 이름표를 붙이면 a₁ a₂ a₃ b₁ b₂는 모두 다르다 → 5! = 120가지
왼쪽은 그중 ‘aaabb’ 모양인 것만 모은 것

② 이름표를 떼면 왼쪽 3! × 2! = 12가지가 모두 ‘aaabb’ 하나로 겹친다

5!3! × 2! = 12012 = 10

aaabb aabab aabba abaab ababa
abbaa baaab baaba babaa bbaaa

같은 것이 있는 순열 · 정리

같은 것이 있는 순열의 수

n개 중에서 서로 같은 것이 각각 p개, q개, …, r개씩 있을 때, 일렬로 나열하는 순열의 수는

n!p! × q! × ⋯ × r! (단, p + q + ⋯ + r = n)

1, 1, 2, 2, 3으로 만드는 다섯 자리 자연수
5!2!×2!×1! = 30

BANANA (a 3개, n 2개, b 1개)
⑴ 6!3!×2! = 60

⑵ n이 양 끝에: n□□□□n
가운데 b, a, a, a → 4!3! = 4

예제 3 · 교과서 16쪽

바둑판 길에서 최단 거리로 가기

→→→→↑↑

어떤 최단 경로든 → 4번, ↑ 2번.
길 = 화살표 6개를 나열하는 순서!

6!4! × 2! = 15가지

수학 이야기 · 교과서 17쪽

갈릴레이의 주사위 문제

갈릴레이(1564~1642), 수스테르만스 그림

“주사위 3개의 합이 9인 조합도, 10인 조합도 6가지씩인데 왜 10이 더 자주 나오나요?”

합 9	경우	합 10	경우
(1,2,6)	3! = 6	(1,3,6)	6
(1,3,5)	6	(1,4,5)	6
(2,3,4)	6	(2,3,5)	6
(1,4,4)	3!/2! = 3	(2,2,6)	3
(2,2,5)	3	(2,4,4)	3
(3,3,3)	1	(3,3,4)	3
합계	25	합계	27

핵심: 주사위 3개를 색으로 구별하면 (3,3,3)은 1가지, (3,3,4)는 3가지 — 같은 것이 있는 순열!

실험 · 직접 던져 보기

정말 10이 더 자주 나올까?

막대: 실험 상대도수 · 점선: 이론값 (경우의 수 ÷ 216)

던진 횟수: 0

합 9: 0
이론 25/216 ≈ 11.6%

합 10: 0
이론 27/216 ≈ 12.5%

오늘의 정리

세 가지 순열, 세 가지 비유

종류	비유	핵심 아이디어	순열의 수
원순열	원탁 · 회전목마	한 명을 고정한다	(n−1)!
중복순열	자물쇠 다이얼	자리마다 n가지 그대로	nΠr = nr
같은 것이 있는 순열	모스 부호 · 이름표	구별했다가 겹친 만큼 나눈다	n!p!q!⋯r!

문제를 보면 먼저 물어보기: ① 원형인가? ② 중복이 허용되는가? ③ 같은 것이 있는가?

연습 문제 · 교과서 23~24쪽 중단원 마무리

스스로 풀어 보기

번호	문제	답
01	정팔각형 탁자에 8명이 둘러앉는 경우의 수	7! = 5040
02	1~5 중 중복을 허용하여 만드는 세 자리 자연수의 개수	5Π3 = 125
03	a, a, b, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수	6!/(2!3!) = 60
07	6명이 원형으로 설 때 A와 B가 이웃하는 경우의 수	4! × 2! = 48
10	success의 7개 문자를 모음끼리 이웃하게 나열하는 경우의 수	6!/(3!2!) × 2! = 120

다음 시간

2강 중복조합: “아이스크림 5개, 맛은 3가지”

순서는 상관없고 중복은 허용될 때는? nHr를 배웁니다.

이미지 출처 (Wikimedia Commons)

Winchester Round Table — Photograph by Mike Peel (www.mikepeel.net), CC BY-SA 4.0
Flying horses carousel — Jared at en.wikipedia, Public domain
Suitcase combination lock — webandi (Pixabay), CC0
Old telegraph instruments, morse key and morse sounder — Kannan Shanmugam, Shanmugam Studio, Kollam, CC BY-SA 3.0
Scrabble letters (modern, Nederlands) — Valentijn Sessink, CC0
Portrait of Galileo Galilei (Uffizi) — Justus Sustermans, Public domain
Dice — PierreSelim, CC BY 3.0

각 이미지의 원본 주소와 라이선스는 이미지 폴더의 출처.json에 있습니다. 문제와 예제는 미래엔 『확률과 통계』 교과서를 참고했습니다.

1강여러 가지 순열